Меню

...

>Лінійні функції>Що таке лінійна функція?

Що таке лінійна функція?

Лiнiйнi функцiї виражають прямi лiнiї. Прямi лiнiї можуть бути пологими або крутими, i можуть йти вгору (в додатному напрямку), вниз (у вiд’ємному напрямку), або бути горизонтальними. Пряма є горизонтальною, якщо кутовий коефiцiєнт $a = 0$ .

Формула

Формула для лiнiйних функцiй

f (x) = a x + b,

де $a$ — це кутовий коефiцiєнт лiнiї, а $b$ — вiльний член, який є координатою $y$ , у якiй графiк перетинає вiсь $y$ . Кутовий коефiцiєнт $a$ показує, наскiльки спадає або зростає графiк, коли значення $x$ збiльшується на 1.

Графiк лiнiйної функцiї з додатним кутовим коефiцiєнтом та вiд’ємним вiльним членом

Приклад 1

Функцiя

f (x) = - 0.5 x + 2

показує, що графiк перетинає вiсь $y$ у точцi $(0, 2)$ i що кутовий коефiцiєнт $a = - 0.5$ . Це означає, що коли $x$ збiльшується на 1, $y$ зменшується на $0.5$ . Отже, графiк спадає i має такий вигляд:

Приклад графiка лiнiйної функцiї

Правило

Важливi властивостi лiнiйної функцiї

Кутовий коефiцiєнт $a$ показує, на скiльки зростає/спадає графiк, коли $x$ збiльшується на 1.
Якщо $a > 0$ , то графiк йде вгору, а якщо $a < 0$ , то вниз.
Графiк перетинає вiсь $y$ у точцi $b$ .
Графiк є прямою з координатами $(x, y) = (x, f (x))$ .

Приклад 2

Коли Челсi Клiнтон була маленькою, в неї була няня. Її батько Бiлл був скупуватим i вирiшив платити нянi $$ 7.5$ на годину i $$ 5$ на дорогу до їхнього дому. Знайди функцiю, яка показує, скiльки Бiлл мав заплатити нянi за $x$ годин.

Ми знаємо, що Бiлл має платити нянi $ $5$ щоразу, коли та приходить сидiти з Челсi. Ми також знаємо, що вiн платить $ $7.5$ за кожну вiдпрацьовану годину. Отже, няня отримує $ $7.5$ за годину, $7.5 \cdot $ 2 = $ 15$ за двi години i так далi. Це означає, що Бiлл платить $7.5 x$ доларiв, коли няня вiдпрацьовує $x$ годин. Вираз для визначення того, скiльки Бiлл платить нянi, має такий вигляд:

y = 7.5 x + 5

Скiльки Бiлл має заплатити за вечiр, коли йому з Гiлларi потрiбно буде пiти на зустрiч до Бiлого дому i няня знадобиться їм на 3 години?

Тут $x = 3$ , тож отримуємо такий розрахунок:

y = 7.5 \cdot (3) + 5 = $ 27.5

Няня отримає $ $27.5$ за 3 години роботи.

Через кiлька годин пiсля роботи няня збиралася на концерт U2. Квиток коштував $$ 35$ . Вона забула гаманець удома i сподiвалася, що заробить за вечiр достатньо грошей, щоб покрити вартiсть квитка. О котрiй годинi мали повернутися Бiлл та Гiлларi, щоб няня заробила достатньо грошей на концерт?

Тут ми знаємо, що нянi потрiбно було заробити принаймнi $ $35$ , щоб купити квиток, а отже, $y = 35$ . Нам потрiбно з’ясувати, скiльки часу вона мала сидiти з Челсi, тобто значення $x$ . Пiдставляємо значення $y$ i розв’язуємо рiвняння, щоб знайти $x$ : $\begin{array}{l} 35 & = 7.5 x + 5 \\ 35 - 5 & = 7.5 x \\ 30 & = 7.5 x & | : 7.5 \\ x & = 4 \end{array}$

Щоб купити квиток на концерт, нянi довелося б сидiти з дитиною чотири години. Тому вона сподiвалася, що Бiлл i Гiлларi затримаються на $4 - 3 = 1$ годину. Якби вони не затрималися, їй довелося б позичати грошi в подруги або просити Бiлла про пiдвищення платнi.

Щоб знайти функцiю прямої, потрiбнi двi точки. Якщо тобi вiдомi двi точки на графiку, можеш скористатися двома формулами, наведеними нижче, щоб знайти кутовий коефiцiєнт $a$ i вiльний член $b$ . Символ $Δ$ (дельта) — це буква грецького алфавiту, яка використовується в математицi для позначення змiни або рiзницi. Тому формулу нижче можна прочитати, як « $a$ дорiвнює змiнi $y$ , подiленiй на змiну $x$ ».

Формула

Як знайти функцiю за двома точками

Лiнiя, що проходить через точки $(x_{1}, y_{1})$ i $(x_{2}, y_{2})$ , має кутовий коефiцiєнт

a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}},

де $y_{1} = f (x_{1})$ , а $y_{2} = f (x_{2})$ . Зверни увагу! Уважно розглянь рисунок!

Щоб знайти вiльний член

b

, скористайся формулою:

b = y_{1} - a x_{1} .

Приклад 3

Знайди кутовий коефiцiєнт лiнiї, яка проходить через точки $(5, 2)$ i $(3, 6)$ , i точку її перетину з вiссю $y$

Нехай $(x_{1}, y_{1}) = (3, 6)$ , а $(x_{2}, y_{2}) = (5, 2)$ . Той самий результат отримаємо, якщо помiняти мiсцями $(x_{1}, y_{1})$ та $(x_{2}, y_{2})$ . Пiдставивши значення у формулу, отримаємо

a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{2 - 6}{5 - 3} = \frac{- 4}{2} = - 2 .

Тепер ми знаємо, що пряма спадає на 2, якщо перемiститися на одну точку вправо. Тепер знайдiмо точку перетину з вiссю $y$ :

\begin{array}{l} b & = y_{1} - a x_{1} \\ = 6 - (- 2) \cdot 3 \\ = 6 + 6 \\ = 12 \end{array}

\begin{array}{l} b = y_{1} - a x_{1} = 6 - (- 2) \cdot 3 = 6 + 6 = 12 \end{array}

Отже, точка перетину з вiссю

y

—

(0, 12)

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Як лінійні функції використовуються в реальному житті?

Повернутися