Для чого використовуються логістичні моделі?

Для багатьох подiй у свiтi навколо зростання зрiвнюється. Логiстичнi функцiї описують такi подiї. Логiстичне зростання зазвичай використовується для моделювання популяцiй тварин, росту дерев або вартостi бiзнесу. У випадках, коли зростання починається експоненцiально, а потiм зрiвнюється, у пригодi стане логiстична модель.

Теорiя

Логiстична модель

Логiстична модель має такий вигляд:

N (t) = \frac{C}{1 + a \cdot e^{- b t}}

Логiстична крива — це добре вiдома сигмоїда. Коли $t \to \infty$ , $N (t)$ прямує до $C$ . Функцiя $N (t)$ зростає найшвидше, коли $N (t) = \frac{C}{2}$ . Графiк логiстичної моделi має такий вигляд:

Приклад 1

У 1940 роцi на острiв у Тихому океанi завезли 45 жаб. Популяцiя зростала за логiстичною моделлю
$B (x) = \frac{4 500 000}{1 + 112 400 \cdot e^{- 1.14 x}},$

де $x$ — це кiлькiсть рокiв починаючи з 1940 року. На якому значеннi зростання популяцiї стабiлiзується згiдно з моделлю?

Графiк логiстичної функцiї стабiлiзується в точцi $y = C$ . Це означає, що популяцiя стабiлiзується на рiвнi $4 500 000$ жаб.

Коли популяцiя зростала найшвидше?

Швидкiсть зростання $B (x)$ найшвидша, коли $B^{″} (x) = 0$ . Найлегше це зробити за допомогою цифрових засобiв. Отримаємо

x = 10.2 .

Найбiльше популяцiя жаб зросла через $10.2$ року пiсля $1940$ року, тобто у $1950$ роцi.

Є й iнший спосiб з’ясувати, коли темпи зростання найбiльшi. $B (x)$ зростає найшвидше, коли

y = \frac{C}{2} = \frac{4 500 000}{2} = 2 250 000 .

Задаємо функцiю рiвною цьому значенню i розв’язуємо для $x$ :

\frac{4 500 000}{1 + 112 500 \cdot e^{- 1.14 x}} = 2 250 000

Вводимо це рiвняння у програму. Отримуємо

x = 10.2,

те саме значення, що ми отримали за допомогою iншого методу.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке степеневі моделі в математиці?

Наступна стаття

Що таке кубічні моделі в математиці?

Повернутися