Sammensatte eksempler om rekker

Denne oppgaven er løst ved bruk av nåverdier i oppslaget om annuitetslån, og du skal nå se at den kan løses ved bruk av sluttverdier.

Terminbeløpene danner den geometriske rekken

Her er den geometriske rekken uttrykt ved en tidslinje:

Legg merke til at rekken har 10 ledd, som stemmer med at det er én innbetaling i året i 10 år. Her er $a_1=x$, $k=1,06$ og $n=10$. Her er det viktig å huske at sluttsummen $S_{10}$ ikke er $1500000$, men $1500000\cdot 1,06^{10}$. Dette er fordi du ender opp med å betale tilbake summen av alle terminbeløpene. Du bruker formelen for summen av en geometrisk rekke, og løser for $x$:

$$\begin{array}{llll}\hfill S_n& =a_1\frac{k^n-1}{k-1}& \hfill & \\ \hfill 1500000\cdot 1,06^{10}& =x\cdot \frac{1,06^{10}-1}{1,06-1}& \hfill & \\ \hfill 1500000\cdot 1,06^{10}& \approx x\cdot 13,18& \hfill & \\ \hfill x& =\frac{1500000\cdot 1,06^{10}}{13,18}\approx 203814& \hfill & \end{array}$$

Dermed må du betale ca. $203814$ kr hvert år for å nedbetale lånet ditt på $1500000$. Ved å regne hvor mye denne årsbetalingen er på 10 år, ser du at du må betale mye mer enn $1500000$ kr. Sjekk selv!

Sammenligner du denne løsningen med svaret fra da oppgaven ble løst med nåverdier, ser du at det er litt forskjell på svarene. Dette er grunnet at man runder av underveis i utregningene, som ikke gir helt nøyaktige svar.

Av tekstoppgaven vet du at terminbeløpet er $16274,54$ kr, altså må Lise betale tilbake dette beløpet hvert år over en periode på 10 år, med første innbetaling om ett år.

Du kan uttrykke innbetalingene som en geometrisk rekke som ser ut som følger

der du ser at det første leddet i rekken, $a_1$, og kvotienten, $k$, er henholdsvis To metoder kan brukes til å svare på dette spørsmålet. Den ene metoden er å bruke formelen for summen av en geometrisk rekke

$$S_{10}=\frac{16274,54}{1+r}\cdot \genfrac{}{}{1.0pt}{}{{\left(\frac{1}{1+r}\right)}^{10}-1}{\frac{1}{1+r}-1}$$

og sette $r=0,10$ for så å regne ut dette på kalkulator. Uttrykket blir

$$S_{10}=\frac{16274,54}{1+0,10}\cdot \genfrac{}{}{1.0pt}{}{{\left(\frac{1}{1+0,10}\right)}^{10}-1}{\frac{1}{1+0,10}-1}$$

som blir lik størrelsen på lånet etter utregning, som var akkurat det du skulle vise. Du har dermed vist at den årlige renten må være $10$ %, siden når $r=0,10$ er summen av de 10 første leddene lik lånet.

Den andre metoden er å sette opp problemet som en likning der du setter formelen for summen lik størrelsen på lånet, for så å løse likningen med hensyn på $r$, som er renten. Likningen ser ut som følger

$$\frac{16274,54}{1+r}\cdot \genfrac{}{}{1.0pt}{}{{\left(\frac{1}{1+r}\right)}^{10}-1}{\frac{1}{1+r}-1}=100000$$

Den enkleste framgangen er å bruke et digital hjelpemiddel, som CAS i GeoGebra, til å løse likningen for oss. Det gir to løsningsforslag, nemlig

$$r_1=-7,8\text{og}{r}_2=0,1,$$

men siden renten ikke kan være negativ, så vil $r_1=-7,8$ være en falsk løsning, og svaret er $r_2=0,10$, som var det du skulle vise. Årsaken til at renten ikke kan være negativ er fordi hvis renten faktisk var negativ, så betyr det at banken betaler deg for å låne penger, noe som ikke gir mening da banken taper penger ved å låne ut penger.

Banken hevder at dersom aksjene har en årlig verdiøkning på $12\text{\%}$, vil hun sitte igjen med en solid fortjeneste på aksjene.

Oppgave b) Bestem verdien av aksjene i slutten av det 10. året.

Lise har investert alle de $100000$ kr hun har lånt i et aksjefond. Med en garantert årlig avkastning på $12$ % over en periode på 10 år kan du bruke formelen for sluttverdien. Formelen er som følger

$$K_n=K_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n.$$

I vårt tilfelle er $K_0=100000$, $p=12$ og $n=10$. Du får dermed at verdien av aksjene i slutten av det 10. året er

Altså er verdien av aksjene i slutten av det 10. året $310584,82$ kr.

Hennes netto fortjeneste etter 10 år er differansen mellom verdien av det hun har betalt på lånet, og verdien av aksjene.

Oppgave c) Vis at hennes netto fortjeneste etter 10 år vil være $51210,57$ kroner.

Du vet at verdien av aksjene i slutten av det 10. året er cirka $310584,82$ kr, men hva er sluttverdien til lånet om 10 år? Du vet at nåverdien av lånet er $100000$ kr med en rente på $10$ %. Da kan du bruke denne informasjonen til å regne ut sluttverdien ved å bruke, igjen, formelen

$$K_n=K_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n,$$

der i vårt tilfelle har at $K_0=100000$, $p=10$ og $n=10$. Da vil uttrykket for sluttverdien se ut som følger:

Altså, sluttverdien av lånet om 10 år er cirka $259374,25$ kr.

Lises netto fortjeneste er da gitt ved

$$310584,82\text{kr}-259374,25\text{kr}=51210,57\text{kr}.$$

I stedet for å ta opp dette lånet for å kjøpe aksjer vurderer Lise heller å spare. I slutten av hvert år vil hun sette $16274,54$ kroner inn på en konto med en fast årlig rente. Det første beløpet setter hun inn om ett år.

Oppgave d) Hva må sparerenten være for at hun skal ha like mye penger i banken om 10 år som verdien av aksjene i Oppgave b)?

Verdien av aksjene i slutten av det 10. året er $310584,82$ kr som oppgitt i Oppgave b).

Du kan uttrykke sparingen til Lise som en geometrisk rekke som følger:

der du ser at det første leddet i rekken, $a_1$, og kvotienten $k$, er henholdsvis Problemet vårt kan settes opp som en likning som følger: eller ved å bruke formelen for summen av en geometrisk rekke:

$$310584,82=16274,54\genfrac{}{}{1.0pt}{}{{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^{10}-1}{\left(1+\frac{p}{100}\right)-1}.$$

Du må løse denne likningen ved å skrive den inn i et digital hjelpemiddel, som CAS i GeoGebra. Du får at

$$p=13,73$$

Altså, sparerenten må være $13,73$ % for at det Lise sparer over de neste 10 årene, når hun setter inn $16274,54$ kr inn på konto hvert år med første sparebeløp satt inn om ett år, skal være lik verdien av aksjene i slutten av det 10. året.

Du setter vekstfaktoren til den månedlige renten lik $x$, og finner så nåverdien av avbetalingsbeløpene. Nåverdien danner den geometriske rekken

$$\frac{699}{x}+\frac{699}{x^2}+\cdots +\frac{699}{x^{36}}$$

Her er den geometriske rekken uttrykt ved en tidslinje:

Summen av den geometriske rekken er beløpet Lindsay kunne valgt å betale med en gang, $15995$. Du ser at $a_1=\frac{699}{x}$ og $k=\frac{1}{x}$. Dette setter du inn i formelen for summen av geometriske rekker og får

$$\begin{array}{llll}\hfill S_n& =a_1\cdot \frac{k^{3}6-1}{k-1},& \hfill & \\ \hfill 15995& =\frac{699}{x}\cdot \genfrac{}{}{1.0pt}{}{\frac{1}{x^n}-1}{\frac{1}{x}-1}.& \hfill & \end{array}$$

Skriver du denne likningen i et digital hjelpemiddel, som CAS i GeoGebra, får du at $x=-0,9$ og $x=1,03$. Siden vekstfaktoren må være et positivt tall, vil svaret være $x=1,03$. Dette tilsvarer en rente på $3$ % per måned. Den årlige vekstfaktoren vil være

$$1,03^{12}=1,43,$$

som tilsvarer en årlig rente på $43$ % per år.

Dermed ser du at det ikke lønner seg å betale varer på avbetaling. Lindsay hadde spart svært mye på å betale for laptopen med en gang!