Inntekter ved etterspørsel og pris

Teori

Etterspørsel og prisfunksjon

Etterspørselen $x$ etter en vare avhenger blant annet av prisen på varen. Du trenger ofte at etterspørselen er en funksjon av prisen

x = e (p)

der $e (p)$ gjerne avtar når $p$ øker. Denne sammenhengen skrives også som

p = p (x),

hvor prisen da er en funksjon av etterspørselen $x$ .

Teori

Inntekt og inntektsmaksimerende etterspørsel

Når

x

er antall solgte enheter og

p (x)

er prisen som en funksjon av denne etterspørselen

x

, er inntekten gitt ved

I (x) = antall \cdot pris = x \cdot p (x) .

Den inntektsmaksimerende etterspørselen er den etterspørselen som gir høyest inntekt.

Eksempel 1

Du har prisfunksjonen $p (x) = - 5 x + 50$ . Hva er bedriftens inntektsfunksjon?

Du vet at inntekten er gitt ved $I (x) = x \cdot p (x)$ . Setter du nå direkte inn i formelen blir bedriftens inntektsfunksjon

\begin{array}{l} I (x) & = p (x) \cdot x = (- 5 x + 50) \cdot x \\ = - 5 x^{2} + 50 x . \end{array}

I (x) = p (x) \cdot x = (- 5 x + 50) \cdot x = - 5 x^{2} + 50 x .

NB! Noen oppgaver ber deg om å finne den etterspørselen som gir bedriften høyest mulig inntekt. Da må du derivere inntektsfunksjonen og sette den lik 0.

Eksempel 2

Finn den etterspørselen som gir bedriften i Eksempel 1 størst inntekt. Bruk det til å finne den største inntekten og prisen på varen.

Når det er snakk om størst eller minst i en oppgave skriker oppgaven etter at du må derivere! Du deriverer derfor inntektsfunksjonen $I (x) = - 5 x^{2} + 50 x$ . Deretter setter du dette uttrykket lik null siden du kan tenke på høyest som et toppunkt. Da blir det som dette

\begin{array}{l} I^{'} (x) & = - 10 x + 50 = 0 \\ ⇓ \\ 10 x & = 50 \\ ⇓ \\ x & = 5 \end{array}

Altså, den etterspørselen som gir størst inntekt er $x = 5$ . Den største inntekten finner du ved å sette inn i inntektsfunksjonen

I (x) = - 5 x^{2} + 50 x .

Dermed blir bedriftens inntekt

\begin{array}{l} I (5) & = - 5 {(5)}^{2} + 50 (5) = - 125 + 250 \\ = 125 \end{array}

I (5) = - 5 {(5)}^{2} + 50 (5) = - 125 + 250 = 125

Bedriftens inntekt er

125

. Du finner prisen til varen ved å sette inn i prisfunksjonen

p (x) = - 5 x + 50

fra Eksempel 1:

p (5) = - 5 (5) + 50 = - 25 + 50 = 25

Prisen på varen er dermed $25$ .

Teori

Etterspørsel og pris

Når etterspørselen (antall enheter markedet ønsker) avhenger av prisen, får du uttrykket

e (p)

, etterspørselen som en funksjon av prisen. Dette vil da være en

x

-verdi, slik at du får

x = e (p) .

Dersom inntekten avhenger av etterspørselen kan du sette $e (p)$ inn for $x$ i inntektsfunksjonen $I (x) = x \cdot p (x)$ , da vil inntektsfunksjonen se ut som dette

I (x) = I (e (p)) = e (p) \cdot p (x) = e (p) \cdot p,

siden $p (x) = p$ (slik som du lærte over).

Eksempel 3

Finn etterspørselen til en vare med inntektsfunksjonen

I (x) = 600 x - 3 x^{2} .

Du vet at formelen for inntekten er $I (x) = p \cdot x$ , derfor må du gjøre om det uttrykket du har slik at det blir et uttrykk ganget med $x$ . Dette kan du gjøre med faktorisering slik som dette: