Hva er et direkte bevis?

Teori

Direkte bevis

Når du skal bevise at

p \Rightarrow q

må du bygge beviset på argumenter som impliserer hverandre, slik at

p \Rightarrow \dots \Rightarrow q .

Ved direkte bevis skal du altså lage en logisk kjede. Du begynner med $p$ . Påstanden $p$ må implisere noe, som igjen impliserer noe annet og så videre til du ender med å implisere $q$ , der $q$ er det du skulle bevise fra $p$ .

Eksempel 1

Vis at dersom $a$ er et partall og $b$ er et oddetall, så er $a + b$ et oddetall

Når du skal skape et bevis er det smart å lage uttrykk du kan jobbe med. I dette tilfellet vil det å lage uttrykk for $a$ og $b$ være viktig. Siden $a$ er et partall kan det skrives som $a = 2 n$ , der $n$ er et heltall. Tallet $b$ er et oddetall og kan dermed skrives som $b = 2 m + 1$ , der $m$ er et heltall. Du kan nå sette inn for $a + b$ og dermed få

\begin{array}{l} a + b & = 2 n + (2 m + 1) \\ = 2 n + 2 m + 1 \\ = 2 (n + m) + 1 \\ = 2 k + 1, \end{array}

der $k = n + m$ er et heltall og dermed er $a + b = 2 k + 1$ et oddetall.

Q.E.D

Eksempel 2

Du ønsker å bevise at $p^{2} + p$ alltid er delelig med 2 ( $p$ betyr ikke partall)

Først vet du at alle partall har en partallsfaktor dersom du faktoriserer tallet. Dette er sant siden alle partall kan deles på 2 ut ifra definisjonen av partall.

Så ser du at du kan faktorisere $p^{2} + p$ som $p (p + 1)$ . Da ser du at $p$ og $p + 1$ er to tall som ligger etter hverandre på tallinjen (slik som 3 og 4, 4 og 5 $\dots$ ). Du kan nå argumentere at uansett hva $p$ er, så må akkurat en av de to faktorene være et partall, siden annenhvert heltall på tallinjen er et partall.

Om $p = 2 k$ er et partall, så må $p + 1 = 2 k + 1$ være et oddetall. Hvis nå $p = 2 k + 1$ er et oddetall, så setter du dette innfor $p$ i oddetallsuttrykket $p + 1$ . Da må

\begin{array}{l} p + 1 & = 2 k + 1 + 1 \\ = 2 k + 2 \\ = 2 (k + 1) \\ = 2 l, \end{array}

p + 1 = 2 k + 1 + 1 = 2 k + 2 = 2 (k + 1) = 2 l,

der

l = k + 1

, være et partall. Til slutt vet du at siden

p^{2} + p

alltid har en faktor som er delelig på 2, så er den selv også delelig på 2. Matematisk vil beviset se ut som rett under, der argumentet er bygget med implikasjoner:

\begin{matrix} p^{2} + p = p (p + 1) \\ ⇓ \\ p^{2} + p har en \\ faktor som er partall \\ ⇓ \\ p^{2} + p er partall og \\ dermed delelig på 2 \end{matrix}

\begin{matrix} p^{2} + p = p (p + 1) \\ ⇓ \\ p^{2} + p har en faktor som er partall \\ ⇓ \\ p^{2} + p er partall og dermed delelig på 2 \end{matrix}

Q.E.D

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hva er forskjellen på implikasjon og ekvivalens?

Neste oppslag

Hva er et kontrapositivt bevis?

Tilbake